前面的文章《连续分布的产生》中，我主要讲述了用均匀分布生成各种连续分布的方法，其中的特殊方法都是利用分布之间的关系来生成的。那么，本文主要介绍连续分布之间的一些关系。
伽马分布与泊松分布的关系
假设$X \sim gamma( \alpha, \beta ), Y \sim Poisson( x/\beta )$，当$\alpha$是整数的时候，下面等式成立：
伽马分布与卡方分布的关系
服从形状参数为$\alpha$，尺度参数为$\beta$的伽马分布的概率密度函数pdf可以表示为：$f(x) = \frac{x^{( \alpha - 1)}e^{( - x/\beta )}}{\Gamma( \alpha)\beta ^\alpha}$现在，我们假设$\alpha=p/2$，其中$p$是整数且$\beta=2$，那么此时的概率密度函数可以表示为：$f(x) = \frac{x^{( p/2 - 1 )}e^{( - x/2)}}{\Gamma ( p/2 )2^{p/2}},0 < x < \infty $显然，此时的概率密度函数$pdf$服从自由度为$p$的卡方分布的$pdf$。
伽马分布与指数分布的关系
当伽马分布中的形式参数$\alpha=1$时，概率密度函数变为：$f( x ) = \frac{e^{( - x/\beta )}}{\beta },0 < x < \infty$显然，此时的概率密度函数就是参数为$\beta$的指数分布密度函数的$pdf$。
韦伯分布与指数分布、瑞利分布的关系
比例参数为$\lambda$，形状参数为$k$的韦伯分布的概率密度函数为：$f(x) = \frac{k}{\lambda }( \frac{x}{\lambda })^{k - 1}e^{ - {( x/\lambda )^k}},x \ge 0$当$\lambda=1$时，它是指数分布；当$\lambda=2$时，它是瑞利分布。
贝塔分布与均匀分布的关系
参数为$\alpha,\beta$的贝塔分布的概率密度函数为：$f( x ) = \frac{1}{B( \alpha ,\beta )}x^{\alpha - 1}( 1 - x )^{\beta - 1},0 < x < 1,\alpha > 0,\beta > 0,B( \alpha ,\beta) = \frac{\Gamma ( \alpha)\Gamma( \beta)}{\Gamma ( \alpha + \beta )}$当$\alpha=\beta=1$时，此时退化成了区间在$0$到$1$的均匀分布。
正态分布与柯西分布的关系
位置参数为$x_0$，尺度参数为$\gamma$的柯西分布的概率密度函数为：$f( x ) = \frac{1}{\pi \gamma \left[ 1 + {( {\frac{x - {x_0}}\gamma })^2} \right]}$当$x_0=0,\gamma=1$时则是标准柯西分布。
- 关系：两个标准正态分布函数的比值服从标准柯西分布。
其它关系式
假设$U_j$是独立同分布于区间$0$到$1$的均匀分布，由文章《连续分布的产生》可以得到：$Y_i=-\lambda log(U_i)$是独立同分布于指数分布的随机变量。那么由指数分布与其它分布的关系推导得到如下的表达式：
很显然，我们可以先通过均匀分布产生指数分布，然后利用指数分布与其它分布的关系来生成对应的分布。因此，知道分布之间的关系就很容易由已知的分布得到要求的分布。
